Математика — онлайн помощь | Кабинет автора ру

Нужна индивидуальность, эксклюзивность и персональный подход?

Обратитесь за консультацией к преподавателям, чтобы не просматривать сотни готовых работ.

Здесь Вы можете получить онлайн помощь при сдаче экзаменов и решении тестов по математике и некоторым другим предметам.

Узнать стоимость можно заполнив форму:

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут на указанный вами адрес электронной почты.

Если цена Вас устроит, Вы сможете оформить заказ:

Сохранить или поделиться с друзьями

В режиме онлайн вы получите все необходимые ответы на вопросы и решения задач по математике.

Мы заранее обговорим с вами способ связи и доставки ответов и решений. От вас потребуется всего лишь выполнить наши простые инструкции.

Помощь на экзаменах оказывают наши специалисты-математики с высшим образованием.

Преимущества данного способа сдачи:

Вы также можете подготовиться к самостоятельной сдаче экзамена с помощью наших онлайн репетиторов по математике.

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Если у вас нет времени на выполнение заданий по , вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в

Сколько стоит помощь?

Какой срок выполнения?

Если требуется доработка, это бесплатно?

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

Каким способом можно оплатить?

Какие у вас гарантии?

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

Содержание

Пример решения заказа по теме
Принятые обозначения
Задачи с решениями
Скачать приложение на IPhone
Темы помощи on-line по начертательной геометрии — 286 тем

Пример решения заказа по теме

Построение проекций фигуры сечения, получаемой при пересечении геометрического тела плоскостями частного положения, сводится к построению недостающих проекций точек и линий, принадлежащих заданным поверхностям. Рассмотрим построение недостающих проекций точек (горизонтальной и профильной), принадлежащих геометрическим поверхностям: призма (рис. 1,я), пирамида (рис. 1,6), цилиндр (рис. 1,«) и конус (рис. 1,г), если известны фронтальные проекции точек.

с помощью вертикальных линий связи: проекция — на грани проекция — на грани проекция — на ребре

На рис. 1, б показана четырехугольная пирамида SABCD. На фронтальной проекции пирамиды даны фронтальные проекции точки на фронтальной проекции грани и точки — на фронтальной проекции ребра

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Построение горизонтальной проекции точки можно выполнить с помощью образующей проходящей через точку или с помощью горизонтальной плоскости уровня (например, проходящей через точку Горизонтальная проекция точки построена на пересечении вертикальной линии связи с горизонтальной проекцией образующей Горизонтальная проекция точки построена на пересечении вертикальной линии связи с горизонтальной проекцией линии пересечения плоскости а с пирамидой SABC.

На рис. 1,г изображен конус. Даны фронтальные проекции точек Построение горизонтальной проекции точки можно выполнить с помощью образующей, например, проходящей через точку или с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости (например, проходящей через точку

На рис. 2 (см. на с. 6) приведен пример построения линии пересечения правильной шестигранной пирамиды фронтально-проецирующими плоскостями. На фронтальной проекции участки плоскостей, которые составляют фигуру сечения, выделены точками и обозначены цифрами: Горизонтальные проекции выделенных точек построены исходя из условия принадлежности точек поверхности пирамиды одним из способов (рис. 1,6): при помощи образующей или способом секущих плоскостей. Горизонтальные проекции точек (51) найдены на пересечении вертикальной линии связи с горизонтальными проекциями ребер, на которых расположены эти точки. Горизонтальные проекции точек построены с помощью профильных проекций данных точек, измеряя координаты или с помощью вспомогательных секущих плоскостей.

Возможно, вас также заинтересует этот блок ссылок:

Горизонтальная проекция точки построена с помощью вспомогательной прямой или вспомогательной горизонтальной секущей плоскости. Построение профильной проекции линии пересечения сводится к построению третьей проекции точки по двум заданным.

На рис. 3 (см. на с. 7) приведен пример построения линии пересечения конуса фронтально-проецирующими плоскостями. На фронтальной проекции участки плоскостей, которые составляют фигуру сечения, выделены точками и обозначены цифрами: Плоскость 1-6 пересекает конус по эллипсу, плоскость 6-8 — по гиперболе, плоскость 8-9 -по окружности. Для построения проекций участка эллипса на фронтальной плоскости проекций выделены проекции точек для построения проекций участка гиперболы выделена проекция точки

Горизонтальные проекции выделенных точек построены исходя из условия принадлежности точек поверхности конуса одним из способов (рис. 1, г): способом образующих или способом вспомогательных горизонтальных секущих плоскостей. Горизонтальные и профильные проекции точек построены на пересечении линий связи с очерковыми образующими, которым принадлежат эти точки. Горизонтальная проекция точки построена с помощью профильной проекции данной точки, измеряя координату

Варианты контрольных работ задания № 1 по разделу «Начертательная геометрия» приведены в табл. 1 (см. на с. 8-11).

Варианты контрольных работ задания № 1 по разделу «Начертательная геометрия» Примеры решения задания № 2 по разделу «Начертательная геометрия»

Условие контрольной работы по варианту № 35 приведено на рис. 4.

Для преобразования прямой АВ в прямую уровня необходимо выполнить следующее (рис. 5):

Проекция также будет представлять собой натуральную величину отрезка АВ.

Для построения горизонтальной проекции точки D (условие 3) необходимо через нее провести фронтальную проекцию прямой построить горизонтальную проекцию и на ней отметить горизонтальную проекцию точки

Построение задачи с условием 4 рассмотрено ранее (см. рис. 1-3 на с. 4-7).

Принятые обозначения

3. Линии уровня обозначаются: h – горизонталь; f – фронталь.

4. Поверхности обозначаются прописными буквами греческого алфавита

5. Плоскости проекций обозначаются: П1 — горизонтальная плоскость проекций; П2 — фронтальная плоскость проекций; П3 — профильная плоскость проекций. 6. Проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и оригинал с добавлением индекса плоскости проекций: — горизонтальные проекции; — фронтальные проекции; — профильные проекции.

Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами: 1. — совпадают: – прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки C и D. 2. – конгруэнтны: — горизонтальная проекция отрезка конгруентна его натуральной длине. 3. — параллельны: – прямая а параллельна прямой b. 4. — перпендикулярны: прямая m перпендикулярна прямой n. 5. — скрещиваются: ,прямые a и b скрещиваются.

Обозначения теоретико-множественных и логических операций:

1. — принадлежит, является элементом: — точка А лежит на прямой m; – прямая n проходит через точку В. 2. — включает, содержит: – прямая а принадлежит плоскости Г; – плоскость проходит через прямую b. 3. — объединение множеств: – ломаная линия АВС есть объединение отрезков 4. — пересечение множеств: – точка К есть результат пересечения прямых а и b. 5. — конъюнкция предложений; соответствует союзу «и». 6. — дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или». 7. — импликация – логическое следствие: — если прямые а и b параллельны, то их одноименные проекции также параллельны.

Задачи с решениями

Определить натуральную длину отрезка АВ(А1В1; А2В2) и углы его наклона к плоскостям проекций (рис.1, рис.2).

Строим прямоугольный треугольник по двум катетам (см. рис.1). За один катет принимаем фронтальную проекцию А2В2 отрезка АВ, за другой катет – отрезок, равный разности расстояний концов отрезка до плоскости П2. В0В2 = А1А1/. Угол β — угол наклона АВ к плоскости проекций П2. Можно найти длину отрезка АВ, строя прямоугольный треугольник не на фронтальной проекции А2В2, а на горизонтальной проекции А1В1 (рис.2). Тогда вторым катетом будет разность расстояний концов отрезка до плоскости П1. В1В0 = В2В2/. Угол α — угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1.

Задача 2.

На прямой l(l1, l2) от точки А(А1, А2) отложить отрезок длиной 30 мм (рис.3).

Выделяем на прямой l произвольный отрезок АМ и определяем его натуральную длину. Для этого строим прямоугольный треугольник по двум катетам А1М1 и М1М0 = М2М2/ .

На гипотенузе А1М0 построенного треугольника откладываем отрезок А1С0 = 30 мм. Опустив из точки С0 перпендикуляр на горизонтальную проекцию прямой, получаем горизонтальную проекцию А1С1 , а по ней и фронтальную А2С2 проекции искомого отрезка.

Задача 3.

Через прямую l (l1, l2) (рис.11а) провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (рис.4).

Признаком принадлежности прямой l фронтально проецирующей плоскости является принадлежность (совпадение) фронтальной проекции l2 , прямой l с фронтальной проекцией ∆2 плоскости ∆ , т.е. если (рис.4б).

Задача 4.

Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Г(АВС) и (рис.5а).

Плоскость ∆ ( ∆ 2) – фронтально проецирующая. Фронтальная проекция плоскости ∆ обладает собирательным свойством, поэтому фронтальная проекция N2M2 искомой линии пересечения совпадает с ∆ 2. Пользуясь условием, что искомая прямая MN принадлежит и плоскости Г (АВС), находим по фронтальной проекции её горизонтальную проекцию M1N1 (рис.5б).

Задача 5.

Построить проекции точки пересечения прямой l (l1, l2) с плоскостью Г(АВС). Определить видимость прямой l (l1, l2) относительно плоскости Г (рис.6а).

Для решения задачи следует последовательно выполнить следующие три операции (рис.6б). 1-я операция. Через прямую l провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (∆ 2 ) (см. задачу 3). 2-я операция. Построить проекции линии пересечения обеих плоскостей – данной Г и вспомогательной ∆, т.е. MN (M1N1; M2N2) (см. задачу 4). 3-я операция. В пересечении проекций данной прямой l и построенной MN отметить проекции (К1, К2) искомой точки.

Сравниваем расстояние их по отношению к плоскости П2 . Сравнение показывает, что точка 3 прямой l , а следовательно, отрезок 3К, спереди не виден.

Задача 6.

В плоскости провести горизонталь и фронталь

Известно, что фронтальная проекция h2 горизонтали h всегда параллельна оси XO. Поэтому построение горизонтали начинаем с проведения (рис.7б). Горизонтальную проекцию находим из условия принадлежности горизонтали h плоскости Г. Фронтальная проекция горизонтали пересекает фронтальные проекции данных прямых l2 и m2 в точках 12 и 22 , которым соответствуют горизонтальные проекции 11 и 21. Через них и пройдет горизонтальная проекция h1 искомой горизонтали h . На (рис.7б) в плоскости Г построена и фронталь f (f1; f2). Это построение выполнено аналогично построению горизонтали.

Задача 7.

Даны плоскость и точка D(D1; D2). Опустить перпендикуляр из точки на эту плоскость (рис.8). Известно, что если прямая перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Проводим горизонталь h (h1; h2 ) и фронталь f ( f1; f2) (см. задачу 6). Затем проводим проекции перпендикуляра: горизонтальную n1 – через D1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 , и фронтальную n2 – через D2 перпендикулярно проекции фронтали f2 .

Задача 8.

Из произвольной точки плоскости восстановить перпендикуляр (нормаль) к плоскости (рис.9а).

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости позволяют строить на чертеже проекции нормали к плоскости. На рис.16б дано построение нормали n ( n1; n2) в точке К (К1 ; К2) к плоскости Г (l ∩ m). Проекции нормали перпендикулярны соответствующим проекциям линий уровня плоскости Г.

Задача 9.

Даны плоскость и точка D; требуется определить расстояние от точки D до плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми l и m (рис. 10).

Порядок решения задачи: 1. Опустить перпендикуляр из точки D на плоскость (см. задачу 7). 2. Определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью и отделить видимый участок перпендикуляра от невидимого, считая плоскость непрозрачной (см. задачу 5). 3. Определить натуральную величину расстояния от точки D до плоскости Г (см. задачу 1).

Задача 10.

Дана точка К(К1;К2) и плоскость Г (АВС) провести через точку К плоскость, параллельную заданной плоскости Г (рис. 11). Построение эпюра параллельных плоскостей основано на известном из стереометрии признаке: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Проводим через точку К(К1;К2) прямые l (l1, l2) и m (m1 ; m2), параллельно сторонам АВ(А1В1,А2В2) и АС(АС1,АС2).Плоскости параллельны, т.к. их пересекающиеся прямые удовлетворяют условию:

Задача 11.

Построить плоскость параллельную плоскости Г (АВС) и отстоящую от неё на расстоянии 40 мм (рис. 12). План решения задачи: 1. Из произвольной точки С (С1;С2) заданной плоскости восстановить перпендикуляр к ней и ограничить его точкой N(N1;N2) (см. задачу 8). 2. Определить натуральную величину отрезка перпендикуляра по его проекции C1N1 и C2N2 (см. задачу 1).

3. На действительной величине отрезка перпендикуляра найти точку М0 на заданном расстоянии, считая от плоскости, и построить проекции этой точки М(М1;М2) на проекциях перпендикуляра (см. задачу 2).

4. Задать искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей (см. задачу 10).

Задача 12.

Через прямую l (l1,l2) провести плоскость ∆, перпендикулярную к плоскости (рис.13).

Если плоскость содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Чтобы провести через прямую l (l1, l2) искомую плоскость, надо из какой-либо точки прямой, например, А(А1;А2), провести перпендикуляр к данной плоскости. Строим проекции горизонтали h(h1;h2) и фронтали f(f1;f2) плоскости Затем, проведя получим проекции перпендикуляра к

плоскости Г. Этот перпендикуляр АВ (А1В1; А2В2) совместно с данной прямой l (l1, l2) определяют искомую плоскость

Задача 13.

Построить линию пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆(DEF) и отделить видимые их части от невидимых (рис.14).

Первая часть задачи сводится к построению линии пересечения двух плоскостей. Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. В данном случае общие точки для обеих плоскостей найдены как точки пересечения: М – стороны DE треугольника DEF с плоскостью Г(АВС); N – стороны ВС треугольника АВС с плоскостью ∆(DEF). Точка М определена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости θ(θ2), точка N – посредством горизонтально проецирующей плоскости Σ(Σ1) проведенных через DE и BC соответственно. Линия пересечения плоскостей ограничена отрезком MN прямой, заключённым между точками встречи контура одной фигуры с ограниченной плоскостью другой.

Найдя линию пересечения, переходим к отделению видимых участков пластинок от невидимых, начав с горизонтальной проекции (вид а сверху). С этой целью рассмотрим две горизонтально конкурирующие точки

Сравнивая расстояния фронтальных проекций этих точек по отношению к плоскости П1. замечаем, что точка 6 пластинки DEF, а следовательно, и участок стороны DE, находится под плоскостью пластинки АВС. В точке М происходит переход невидимого участка прямой DE к видимому. Аналогичными рассуждениями при помощи фронтально конкурирующих точек определяем видимость на фронтальной проекции.

Задача 14.

Для построения на эпюре новой проекции точки при замене одной из плоскостей проекций надо опустить перпендикуляр на новую ось из той же проекции точки, которая не меняется, и отложить на нем от новой оси в соответствующую сторону расстояние от заменяемой проекции до старой оси.

Задача 16.

Преобразовать горизонтально проецирующую плоскость Г(АВСD) в плоскость уровня (рис.16).

Плоскость Г – горизонтально проецирующая. Для преобразования ее в плоскость уровня достаточно взамен плоскости проекции П2 ввести новую плоскость П4 , параллельную плоскости Г(АВСD). Линию пересечения плоскостей П1 и П4 принимаем за новую ось проекций X1.

Новая ось X1 параллельна вырожденной проекции Г1 плоскости Г, т.к. плоскость П4 параллельна данной плоскости Г. Построив проекции точек А, В, С и D в новой системе П1 П4 и соединив их, получим проекцию четырехугольника А4В4С4D4, отображающего свои натуральные размеры.

Задача 17.

По данной фронтальной проекции К2 точки К построить горизонтальную проекцию К1, исходя из условия, что точка К принадлежит грани SАС (рис.17). Построение точки на поверхности выполняется как построение точки на плоскости грани.

На грани SАС при помощи прямой 1–2 (1121 ; 1222) по данной фронтальной проекции К2 точки К построена горизонтальная проекция К1 , исходя из условия, что точка К должна лежать в грани SАС. На рис.18 показано построение К1 на грани SВС при помощи прямой, проведенной через вершину S пирамиды.

Задача 18.

Задать на поверхности конуса произвольную точку А (рис.19).

1-й способ (рис.19а). На основании конуса задаем произвольную точку К(К1 , К2) и проводим вспомогательную образующую через точки S и К. На этой образующей берем точку А, которая и лежит на заданной поверхности. 2-й способ (рис.19б). На поверхности конуса проводим вспомогательную параллель; ее фронтальная проекция является отрезком прямой, параллельным оси проекций XO, а горизонтальная проекция – окружностью. На этой параллели берем точку А , которая и лежит на поверхности.

Задача 19.

Построить горизонтальную проекцию линии на поверхности конуса по заданной фронтальной проекции (рис.20).

Построение горизонтальной проекции заданной линии начинаем с того, что отмечаем точки, принадлежащие очерковым образующим. Эти точки называют характерными. Точка 3 принадлежит передней образующей, 8 – задней, 2 – правой, 1 – левой и точка 10 – основанию конуса. Между этими точками отмечают так называемые случайные точки, помогающие установить характер линии. Точки 4, 5, 6, 7 и 9 – случайные. Горизонтальные проекции всех отмеченных точек находим из условия принадлежности их конусу (см. задачу 16). При соединении точек следует учитывать их видимость. В нашем примере все точки сверху видимы, поэтому и линия, соединяющая их, видима сверху.

Задача 20.

Построить проекции линии пересечения пирамиды SАВСD с проецирующей плоскостью Г(Г2) (рис.21).

Известно, что любая поверхность пересекается плоскостью по некоторой линии, точки которой принадлежат как поверхности, так и пересекающей плоскости. Общим приемом построения проекций линии пересечения поверхности плоскостью является построение отдельных точек, принадлежащих этой линии, с последующим соединением их в определенной последовательности. Линия пересечения поверхности любого многогранника плоскостью будет ломаная линия, которая состоит из отрезков прямых, являющихся линиями пересечения отдельных граней рассматриваемого многогранника с указанной плоскостью. Характерными точками этой линии будут ее вершины, расположенные на ребрах многогранника. В нашем примере пирамида пересекается фронтально проецирующей плоскостью это значит, что фронтальная проекция искомой линии пересечения непосредственно задана на чертеже и совпадает с фронтальной проекцией всей плоскости Г2 . При помощи линии связи находим горизонтальные проекции сечения. Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекций (см. задачу 14). За новую горизонтальную плоскость проекций взята сама плоскость Г. Новой осью проекций является Г2 .

Задача 21.

Построить в прямоугольной изометрии сечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Пирамида задана своими ортогональными проекциями (рис.22).

Через точку О1 проводим прямые x , y, z , которые принимаем за оси натуральной системы координат (рис.29а). Вычерчиваем аксонометрические оси координат с углами в 1200 между ними (рис.22б). По координатам, определенным непосредственным измерением ортогонального чертежа, строим аксонометрическую и вторичную горизонтальную проекции пирамиды. В нашем примере основание пирамиды АВСDЕ лежит на плоскости XOY, поэтому ее вторичная проекция совпадает с аксонометрической проекцией и обозначена Далее по координатам X и Y вершин сечения строим вторичную горизонтальную проекцию сечения Затем из точек проводим проецирующие прямые, параллельные оси до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды в точках Соединяя найденные точки, получим фигуру сечения пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью. Для решения задачи на построение линии пересечения двух фигур, одна из которых занимает проецирующее положение, достаточно выделить на чертеже уже имеющуюся проекцию линии пересечения, которая совпадает с вырожденной проекцией проецирующей фигуры. Вторую проекцию линии пересечения надо построить, исходя из условия ее принадлежности фигуре, занимающей общее положение.

Для решения этой задачи необходимо знать решение задач 18, 19, 20, а также нижеследующие задачи.

Задача 22.

Построить горизонтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности конуса (рис.23). Определяем плоскую кривую. Так как плоскость, в которой находится кривая, параллельна образующей конуса, то кривая – парабола . Строим характерные точки А , М , N , — они находятся на известных линиях поверхности. Случайные точки 1 , 2, 3 , 4 строим с помощью параллелей конуса (см. задачу 18).

Задача 23.

Построить фронтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности конуса (рис.24). Кривая – гипербола, т.к. расположена в плоскости, параллельной двум образующим конуса.

Строим характерные точки: А (вершина гиперболы); N , M – конечные точки гиперболы; Т – точка видимости фронтальной проекции линии. Случайные точки строим с помощью параллелей конуса.

Задача 24.

Построить фронтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности сферы (рис.25). Кривая – окружность , которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в эллипс, т.к. плоскость окружности наклонена к П2 . Характерные точки кривой — А , В и С , D (определяющие большую и малую оси эллипса), а также К и Т — точки видимости. Случайные точки — 1 , 2. Фронтальную проекцию точек строим с помощью окружностей, параллельных фронтальной плоскости.

Задача 25.

Построить горизонтальную проекцию линии, принадлежащей поверхности пирамиды (рис.26). Характерные точки К , Т , N , D , принадлежащие ребрам пирамиды, и М , R – крайняя левая и самая низкая.

Горизонтальные проекции точек определяем с помощью прямых, параллельных основанию пирамиды.

Задача 26.

Построить пересечение конуса и призмы (рис.27). Призма занимает проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией призмы в пределах очерка конуса. Линия пересечения будет состоять из части эллипса и части окружности радиуса R . Характерными точками будут А , С , D и M , N для эллипса и M , N , K для окружности; CD – малая ось эллипса; M , N – точки излома; K – крайняя правая точка окружности, определяющая радиус окружности R . Случайные точки – 1 , 2, 3 , 4 . Горизонтальные проекции точек определяем с помощью параллелей конуса. Определяем видимость кривой, учитывая, что проекция линии пересечения видима, если она принадлежит видимой части одной и второй поверхности.

Задача 27.

Построить развертку пирамиды SABC (рис.28). Гранями пирамиды являются треугольники, для построения которых достаточно определить натуральные длины их сторон – ребер пирамиды.

Основание пирамиды параллельно плоскости П1,поэтому подлежат определению только натуральные величины боковых ребер пирамиды. Строим развертку боковой поверхности пирамиды, используя натуральные величины ребер. Для этого по трем сторонам строим контур одной грани, к ней пристраиваем следующую и т.д.

Задача 28.

Построить на развертке цилиндра линию, принадлежащую поверхности цилиндра (рис.29).

Задача 29.

Построить точки пересечения прямой с поверхностью (рис. 30): а) поверхность коническая; б) поверхность сферическая.

Задача 30.

Построить пересечение двух поверхностей (рис.31). Для решения задачи такого типа применяется метод секущих плоскостей. Секущие плоскости – посредники выбираются так, чтобы при пересечении с каждой из поверхностей образовывались удобные для построения линии (прямые или окружности). В данном примере в качестве посредников выбираем горизонтальные плоскости, которые рассекают тор и сферу по окружностям. Строим характерные точки А, В, К, Т. Для определения К и Т используем плоскость – посредник Г.

Случайные точки определяем с помощью плоскостей Определяем видимость кривой пересечения, учитывая, что на горизонтальной проекции видима только верхняя половина сферы.

Задача 31.

Построить пересечение соосных поверхностей вращения цилиндра и сферы, конуса и сферы (рис. 32).

Соосные поверхности пересекаются по общим параллелям (окружностям), плоскости которых, как известно, перпендикулярны осям вращения. Определяем характерные точки А, В как точки пересечения очерков. Строим линии пересечения поверхностей.

Задача 32.

Построить пересечение двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются в точке О (рис.33). Используем секущие сферы, центры которых находятся в точке О.

Rmax есть величина, равная расстоянию от О2 до самой далекой характерной точки А2. Для определения Rmin вписываем сферы в каждую из пересекающихся поверхностей R1 и R2 . Минимальным радиусом секущей сферы ( Rmin ) будет больший из двух радиусов вписанных сфер — R2 = Rmin .

Задача 33.

Через прямую АВ (А6 , В6 ) (рис.34а) провести плоскость Σ , уклон которой Строим сетку углового масштаба и с его помощью определяем интервал плоскости l (рис. 34 б). Сторона каждого квадрата сетки углового масштаба соответствует 1 м.

Задача 34.

Через прямую АВ (А5 , В6) провести плоскость уклон которой масштаб 1 : 200 (рис.35).

Радиус R основания конуса равен интервалу плоскости L , высота конуса равна 1м. Из точки В6 чертежа радиусом R = L проводим окружность – горизонталь поверхности конуса, имеющую отметку 5. Касательная АК (А5 , К5) является горизонталью искомой плоскости. Направление масштаба уклона плоскости перпендикулярно горизонтали АК.

Задача 35.

Через заданную на чертеже дугу BCD окружности, лежащую в горизонтальной плоскости, провести коническую поверхность (рис.36). Уклон образующих i = 3 : 4, масштаб 1 : 200. Из центра дуги проводим нормаль, и от места её пересечения с дугой (внутрь или наружу) откладываем отрезки, равные интервалу конической поверхности. На рис. 36 а представлен фрагмент насыпи, а на рис. 36 б – фрагмент выемки.

Задача 36.

Построить линию пересечения двух плоскостей откоса дна котлована с бровками АВ и ВС. Уклон откосов i = 2:3, масштаб 1 : 200 (рис.37а).

Строим горизонтали плоскости Ʃ и дуги окружностей – горизонталей конической поверхности. Находим точки пересечения одноименных горизонталей и соединяем их плавной кривой, которая является искомой линией пересечения

Задача 38.

Определить линию пересечения топографической поверхности с плоскостью заданной масштабом уклонов (рис. 39).

Решение сводится к определению точек пересечения горизонталей плоскости и топографической поверхности, имеющих одинаковые отметки, которые соединяются между собой отрезками ломанной линии.

Задача 39.

Определить линию пересечения конической и топографической поверхности (рис. 40). Аналогично предыдущей задаче находим точки пересечения одноименных горизонталей и соединяем их отрезками ломаной линии. Для уточнения контура, поскольку тридцать пятые горизонтали не пересекаются, дополнительно проводим (штриховой линией) горизонтали с отметкой 34,5, проведенные интерполяцией.

Задача 40.

Построить профиль 1-1 топографической поверхности (рис. 41а). Точки пересечения горизонталей поверхности с вертикально проецирующей плоскостью при помощи полоски бумаги с рис. 41а переносим на рис. 41б на горизонтальную линию. Из полученных точек восставляются перпендикуляры до пересечения с горизонтальными линиями, имеющими такие же отметки, как и отмеченные точки. Линия, соединяющая полученные точки пересечения, представляет собой профиль топографической поверхности.

Задача 41.

Определить границы земляных работ на прямолинейном горизонтальном участке дороги с отметкой 20. Уклоны откосов выемок 1:1, уклон откосов насыпей 1:1,5 (рис.42).

Так как дорога имеет отметку 20, то точки нулевых работ находятся в пересечении горизонталей с отметкой 20 с бровками дороги — точки 0. В этих точках соприкасаются границы земляных работ выемки и насыпи.

Анализируя положение горизонталей на плане местности с отметкой полотна дороги, можно заметить, что левые точки нулевых работ часть дороги будет находится в выемке, так как в этом направлении рельеф местности повышается (горизонтали топографической поверхности имеют большие отметки, чем полотно дороги), а справа – на насыпи (рельеф местности на этом участке понижается). С помощью углового масштаба уклонов определяем интервалы откосов выемки и откосов насыпей. Перпендикулярно бровкам дороги проводим масштабы уклонов плоскостей откосов выемки и масштабы уклонов плоскостей откосов насыпи

Проведя горизонтали плоскостей откосов, определяем точки пересечения этих горизонталей с одноименными горизонталями топографической поверхности. Линии, соединяющие полученные точки, являются границами земляных работ.

Задача 42.

Определить линию пересечения откоса насыпи с топографической поверхностью в случае, когда их горизонтали не пересекаются (рис.43)

В рассматриваемом примере горизонтали с отметками 8 и 10 плоскости откоса насыпи не пересекаются с горизонталями 9 и 10 топографической поверхности. Для определения точки, принадлежащей линии пересечения, проводим в плоскости откоса произвольную прямую А10В9 и определяем точку ее пересечения с топографической поверхностью, проводя для этого через прямую вспомогательную плоскость ( эта плоскость определяется параллельными прямыми AD и BC). Линия пересечения D10C9 вспомогательной плоскости с топографической поверхностью определяет в пересечении с прямой А10В9 искомую точку К. Вторая общая точка для плоскости откоса к топографической поверхности – точка L определена аналогично.

Задача 43.

По ортогональным проекциям построить прямоугольную изометрию (рис.44а).

Построение изометрии необходимо проводить в такой последовательности: а) на ортогональном чертеже задать проекции осей натуральной системы координат (рис.44б);

б) задать аксонометрические оси и построить вторичную проекцию (аксонометрию плана) (рис.44в); в) построить аксонометрию всей фигуры (рис.44г).

Задача 44.

Построить собственные и падающую тень призмы на горизонтальную плоскость (рис.45). Прежде, чем строить падающую тень призмы, определяем контуры собственной тени, рассматривая положение граней относительно направления лучей света. В тени находятся правая, задняя и нижняя грани призмы. Контур собственной тени призмы при заданном направлении световых лучей представляет собой ломаную линию АВСDЕ, составленную из ребер призмы.

От контура собственной тени строим контур падающей тени. Так как ребро АВ перпендикулярно горизонтальной плоскости, то направление тени от отрезка АВ на горизонтальной плоскости параллельно вторичной проекции светового луча

(проекции луча на этой плоскости). Отрезки ВС и DC параллельны горизонтальной плоскости, поэтому тени этих отрезков на эту плоскость параллельны самим отрезкам.

Задача 45.

Построить тень, падающую от отрезка АВ на призму (рис. 46).

Тень от вертикального отрезка на землю (горизонтальную плоскость) совпадает с направлением вторичной проекции светового луча. Но она действительна до точки так как эта точка лежит на линии пересечения плоскости земли с гранью призмы. В этой точке тень от отрезка преломляется на грань призмы. Тень от отрезка АВ , упавшая на вертикальную грань призмы, изобразится вертикальной прямой так как АВ параллелен этой грани. Тень от отрезка АВ, упавшая на верхнюю грань призмы, совпадает с направлением вторичной проекции светового луча, т.е.

Задача 46.

Построить собственные и падающие тени заданных призм (рис. 47). Определяем грани, находящиеся в собственной тени, и контуры этих теней. Это – правые, задние и нижние грани призм.

Построение падающих теней от ребер на горизонтальную плоскость выполнено аналогично с построениями в примере 46 (см. рис.47). Построение падающей тени вертикального отрезка EF аналогично построениям, выполненным при решении задачи 46. Тень от ребра FK падает на вертикальную (переднюю грань) и горизонтальную (верхняя грань) плоскости. Тень от отрезка FK по вертикальной плоскости будет направлена от точки в точку 1/ (точку пересечения ребра FK с этой вертикальной плоскостью) на участке Тень от отрезка FK на горизонтальной плоскости будет параллельна самому отрезку Тень от отрезка МК падает на горизонтальную плоскость, и поэтому параллельна самому отрезку.

Задача 47.

По ортогональному чертежу прямой l построить перспективу (рис.48а).

Выполним предварительные построения на ортогональном чертеже. Задаем основание главного луча S1P1 ,проведя (рис.48б). Определяем картинный след прямой (точку пересечения прямой с картиной) — Для построения точки схода F прямой l проводим через S1 прямую и отмечаем точку являющуюся основанием точки схода. Выполним предварительные построения на картине (рис.48в). Зададим линии hh и OO , расстояние между которыми равно высоте точки зрения, т.е. расстоянию от S2 до оси X на ортогональном чертеже. На hh , примерно посередине, проведем главную линию картины

Затем приступаем к построению перспективы прямой. Так как прямая l – горизонтальная прямая, то точка схода прямой (и ее вторичная проекция) лежит на hh , а картинный след (и его вторичная проекция) – на OO. Построим эти точки, отложив Соединив построенные точки, получаем перспективу прямой 1 . Так прямая 1 принадлежит предметной плоскости, то перспектива прямой и ее вторичная проекция совпадают.

Задача 48.

Построить перспективу отрезка АВ (рис.49). Перспектива точки строится в пересечении перспектив двух прямых, проходящих через точку в пространстве. Строим перспективу прямой l , которой принадлежит отрезок АВ (см. предыдущую задачу). Чтобы на построенной прямой зафиксировать положение определенной точки, в пространстве через эту точку проводим вспомогательную прямую и строим перспективу этой прямой. Вспомогательные прямые могут быть любого направления. Для построения перспективы точки В через нее проводим прямую n , перпендикулярную картине В перспективе известна точка схода такой прямой – она совпадает с главной точкой картины. Для построения перспективы точки А через нее проведена прямая m, проходящая через точку стояния (основание точки зрения). Для этой прямой известно направление ее в перспективе – она параллельна главной линии.

Задача 49.

Построить перспективу плана здания (рис.50).

При анализе формы плоской фигуры замечаем, что она содержит отрезки из пучков параллельных прямых. Построив точку схода перспективных изображений пучка прямых АВ, ЕМ, КN и их картинные следы строим перспективу этих прямых. Заметим, что пучок параллельных прямых АЕ, ВС, КТ, MN не имеет в пределах чертежа доступную точку схода. Поэтому на перспективном изображении положение каждой вершины многоугольника плана определен с помощью вспомогательных прямых, проходящих через точку стояния (см. в задаче 48 построение перспективы точки В).

Задача 50.

Построить перспективу вертикального отрезка АВ (рис.51).

Вначале строим перспективу точки А, принадлежащей предметной плоскости. Для этого проводим через точку А две вспомогательные прямые: t – идущую в точку стояния.

Через перспективу точки А проводим вертикальную прямую – направление перспективы отрезка АВ. Для того чтобы получить перспективу точки В , через прямую n проводим вертикальную плоскость и строим линию пересечения плоскости с картиной затем, отложив на этой прямой от основания картины отрезок равный величине отрезка проводим в плоскости горизонталь заданной высоты до пересечения с вертикальной прямой – направлением перспективы отрезка АВ. Заметим, что прямая n является нулевой горизонталью плоскости (предметным следом плоскости ). Так как горизонталь параллельна n , то в перспективе они пересекаются в общей точке схода (в нашем примере точкой схода является главная точка картины, так как

Задача 51.

Построить собственные и падающую тень призмы при заданном направлении светового луча (рис. 52). Прежде чем строить падающую тень призмы, определяем контур собственной тени. Так как при заданном направлении световых лучей в тени находятся правая и задняя часть призмы, то контур собственной тени представляет собой ломаную линию ABCDE, составленную из ребер призмы. Строим контур падающей тени от контура собственной тени. Так как ребро АВ перпендикулярно предметной плоскости, то направление тени от отрезка АВ

совпадает с направлением вторичной проекции светового луча. В пересечении перспективы светового луча и вторичной проекции его отмечаем тень от точки, через которую проходит световой луч. Заметим, что в данной задаче направление световых лучей параллельно плоскости картины (вторичная проекция заданного светового луча параллельна линии hh), и поэтому на перспективном изображении сохраняется параллельность световых лучей.

Задача 52.

Построить тень, падающую от отрезка АВ (рис.53).

Тень от отрезка АВ на предметной плоскости направлена по вторичной проекции светового луча. Она действительна до точки в которой тень от отрезка преломляется на грань призмы

Отрезок АВ параллелен вертикальной грани призмы, поэтому тень от него на этой грани будет вертикальна (участок Тень от отрезка АВ, упавшая на верхнею грань призмы, совпадает с направлением вторичной проекции светового луча

Задача 53.

Построить собственные и падающие тени заданных призм (рис. 54).

Определяем грани находящиеся в собственной тени, и контуры этих теней. В тени находятся правые и задние грани призм. Построение падающих теней от ребер призмы на предметную плоскость выполнено аналогично с построением в задаче 51 (см. рис. 52). Построение падающей тени вертикального отрезка АВ выполнено аналогично с построениями в задаче 52 (см. рис. 53). Тень от отрезка ВС падает на вертикальную (передняя грань) и горизонтальную (верхняя грань) плоскости. Для построения тени от отрезка ВС на передней грани определяем точку пересечения этого отрезка с плоскостью – точку Тень отрезка АВ по вертикальной плоскости направлена от точки до точки на участке Тень от отрезка ВС на горизонтальной плоскости (верхней грани) параллельна самому отрезку BC, и поэтому перспектива отрезка и тень от него на этой плоскости пересекаются в общей точке схода.

Отрезок CD также параллелен горизонтальной плоскости, на которую падает тень от него, поэтому тень и перспектива этого отрезка пересекаются в общей точке схода.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей: