Решить уравнение

Руководство к решению задач по математике

В ниже приведенных онлайн-калькуляторах решение сохраняется в формате с отображением всех исходных формул.

Аналитическая геометрия

Линейная алгебра

1. Определитель матрицы.
2. Матричный калькулятор: 3A-BC+A-1
3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
6. Собственные числа матрицы
7. Выделение полного квадрата (a•x² + b•x + c = 0)
8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):

9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
11. Решение пределов.
12. Точки разрыва функции.
13. Построить график функции.

Степенные ряды

1. Определить сходимость или расходимость ряда
2. Определить область сходимости степенного ряда
3. Разложить в ряд Тейлора
4. Разложение функции в ряд Фурье: Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1+x на отрезке [-1, 1]. Построить графики частичных сумм S₀, S₁, S₂.

Комплексные числа

1. Действия с комплексными числами
2. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
3. Извлечение корня из комплексных чисел используется, например, при нахождении уравнений типа w3 - z = 0.

Интегральное исчисление

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. Вычисление интегралов (Таблица интегралов)
3. Работа силы при перемещении вдоль дуги линии: Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.

Дифференциальное исчисление

1. Найти производную (Таблица производных) cosx + e^sinx+x3x
2. Дифференциал функции
3. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
4. Уравнение касательной к графику функции, уравнение нормали
5. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной. Калькулятор вычисляет экстремум функции. Интервалы возрастания и убывания функции. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
6. Асимптоты функции. Определение наклонных, вертикальных и горизонтальных асимптот.
7. Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения: , .
2. Линейные дифференциальные уравнения (решение однородных дифференциальных уравнений y''-2y'+y = e2x)

Функции нескольких переменных

1. Частные производные.
2. Экстремум функции двух переменных: нахождение минимума и максимума функции
3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
4. Метод множителей Лагранжа для поиска локальных экстремумов функции.
5. Градиент функции: градиент в точке, производная по направлению вектора. Нахождение полного дифференциала функции.

Теория вероятностей

1. Системы случайных величин. Полезный калькулятор при изучении темы на условные ряды распределения X,Y.
2. Корреляционная таблица — этот тип калькулятора используется для нахождения ковариация и коэффициента корреляции.
3. см. другие онлайн-калькуляторы по теории вероятностей

С помощью сервиса можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения ().

С помощью калькулятора можно быстро вычислить некоторые математические выражения и находить пределы, производные и интегралы.

Математический анализ

В ниже приведенных онлайн-калькуляторах решение сохраняется в формате с отображением всех исходных формул.

Линейная алгебра

1. Определитель матрицы.
2. Матричный калькулятор: 3A-BC+A-1
3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
6. Собственные числа матрицы
7. Выделение полного квадрата (a•x² + b•x + c = 0)
8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):
9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
11. Решение пределов.

Комплексные числа

1. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
2. Извлечение корня из комплексных чисел используется, например, при нахождении уравнений типа w3 - z = 0.

Дифференциальное исчисление

1. Найти производную (Таблица производных) cosx + e^sinx+x3x
2. Дифференциал функции
3. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
4. Уравнение касательной к графику функции, уравнение нормали
5. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной. Калькулятор вычисляет экстремум функции. Интервалы возрастания и убывания функции. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
6. Асимптоты функции. Определение наклонных, вертикальных и горизонтальных асимптот.
7. Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения: , .
2. Линейные дифференциальные уравнения (решение однородных дифференциальных уравнений y''-2y'+y = e2x)

Интегральное исчисление

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. Вычисление интегралов (Таблица интегралов)
3. Работа силы при перемещении вдоль дуги линии: Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.

Степенные ряды

1. Определить сходимость или расходимость ряда
2. Определить область сходимости степенного ряда
3. Разложить в ряд Тейлора
4. Разложение функции в ряд Фурье: Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1+x на отрезке [-1, 1]. Построить графики частичных сумм S₀, S₁, S₂.

С помощью сервиса можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения ().

Типовые примеры задач математического анализа

Примечание: все ссылки, расположенные внутри решения данной работы, ведут на соответствующие онлайн-калькуляторы.

Задача 1. Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя.

Пределы

а)

Решение.

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.



Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.



Для нашего примера: f(x) = 1-(cos(x))2, g(x) = x+sin(2•x)

Находим первую производную: f'(x) = 2•cos(x)•sin(x), g'(x) = 1+2•cos(2•x)

б)

Решение.



Для нашего примера:
f(x) = ln(sin(x))
g(x) = (2•x-π)²
Находим первую производную
f'(x) = cos(x)/sin(x)
g'(x) = -4•π+8•x

Находим вторую производную
f»(x) = -1-cos²(x)/sin²(x)
g»(x) = 8


в)

г) .

Задача 2. Провести полное исследование и построить графики функций.

Функции

а) ;

Решение ищем по схеме:

1. выяснение области определения функции;
2. определение четности или нечетности функции;
3. исследуется периодичность функции;
4. расчет точек пересечения кривой с осями координат;
5. находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6. исследования на экстремум;
   
   Находим первую производную функции:
   
   или
   
   Приравниваем ее к нулю:
   
   x₁ = -1
   x₂ = 1
   Вычисляем значения функции
   f(-1) = ^-1/₂
   f(1) = ¹/₂
   Ответ:
   f_min = ^-1/₂, f_max = ¹/₂
   Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
   
   или
   
   Вычисляем:
   y»(-1) = ¹/₂>0 — значит точка x = -1 точка минимума функции.
   y»(1) = ^-1/₂<0 — значит точка x = 1 точка максимума функции.
7. поиск точек перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;
8. расчет асимптот кривой;
   
   Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
   
   
   Находим коэффициент k:
   
   
   Находим коэффициент b:
   
   

   Получаем уравнение горизонтальной асимптоты: y = 0

9. строят график исследуемой функции.

   
   

б).

Задача 3. Дано скалярное поле.

1) Составить уравнение линии u = C и построить её график.

2) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u=u(x;y) в точке A по направлению вектора .

3) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A.

Задача 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

Уравнения линий

y = -4x3; x=0; y=4

Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения. Сделать проверку.

y′+2xy=3x²e^-x2

Задание 6. Известно, что рыночный спрос Q и предложение S на некоторый товар линейно зависит от цены p: S=ap+b, Q=cp+d, где a, b, c, d-некоторые положительные постоянные. Исследование рынка показало, что скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности y. Напишите дифференциальное уравнение, характеризующее зависимость цены от времени t, и решите его при условии, что начальная цена товара имела значение p(0)=0,25.

Задание 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

y″-7y′+10y=0, y(0)=2, y′(0)=-1

Задание 8. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y″-2y′=3x²+1

Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

x²y″-ln(x)=0